Àlgebra i Geometria

Aquest manual recull el contingut de les assignatures d’Àlgebra i Geometria I i II, del primer curs del grau en Física de la Universitat de València, a més de tractar temes complementaris que constitueixen la base matemàtica de les teories físiques actuals: la mecànica quàntica i la teoria de la relativitat. Els conceptes que s’hi desenvolupen són bàsics en la formació de físics, matemàtics i enginyers.

Joan J. Ferrando  és catedràtic de Física Teòrica adscrit al departament d’Astronomia i Astrofísica de la Universitat de València, i compta amb una llarga experiència docent en les titulacions de Física i Matemàtiques.  La seua recerca se centra en l’estudi dels aspectes teòrics i conceptuals de la teoria de la relativitat general.

José María Martí  és catedràtic d’Astronomia i Astrofísica i compta amb una llarga experiència docent en el grau de Física, en particular impartint les assignatures d’Àlgebra i Geometria. La seua recerca se centra en la simulació de dolls extragalàctics a diverses escales espacials i el desenvolupament de mètodes numèrics per a les equacions de la hidrodinàmica i la magnetohidrodinàmica relativistes.

Manel Perucho  és professor titular del Departament d’Astronomia i Astrofísica i docent en la Facultat de Física de la Universitat de València des de 2010. Ha impartit principalment les assignatures d’Àlgebra i Geometria en primer curs de grau i part de l’assignatura d’Astrofísica Estel·lar en el màster de Física Avançada. La seua recerca està dirigida a l’estudi de processos d’alta energia en astrofísica, principalment en galàxies actives i estrelles binàries, mitjançant models teòrics i simulacions numèriques de magnetohidrodinàmica relativista.

Susana Planelles , professora titular del Departament d’Astronomia i Astrofísica de la Universitat de València, compta amb una àmplia experiència docent en el grau de Física i el Màster de Física Avançada. La seua recerca se centra en el camp de la cosmologia computacional, en particular, en l’anàlisi de la identificació, formació i evolució de galàxies i cúmuls de galàxies.

1. Estructures algebraiques

1.1. Llei de composició interna

1.2. Grups i subgrups

1.3. Homomorfismes de grups

1.4. Grup simètric i grup de permutacions

1.5. Anells i cossos

2. Espais vectorials

2.1. Definició i propietats immediates

2.2. Subespais vectorials

2.3. Combinacions lineals

2.4. Base i dimensió d’un espai vectorial

2.5. Matriu canvi de base i orientació d’un espai vectorial

3. Aplicacions lineals

3.1. Definicions i propietats immediates

3.2. Classificació i altres propietats

3.3. Operacions amb aplicacions lineals

3.4. Projectors sobre subespais complementaris

3.5. Formes lineals i espai vectorial dual

3.6. Representació matricial d’aplicacions lineals

3.7. Representació matricial d’operadors lineals

3.8. Representació matricial de formes lineals

4. Espais prehilbertians

4.1. Producte escalar

4.2. Norma d’un vector

4.3. Ortogonalitat i sistemes ortonormals

4.4. Canvi de base entre bases ortonormals

4.5. L’espai de Hilbert L2(a, b)

5. Aplicacions lineals en espais prehilbertians

5.1. Representació matricial en bases ortonormals

5.2. Aplicació adjunta d’una aplicació lineal

5.3. Operadors normals i operadors hermítics

5.4. Operadors unitaris. Grup unitari

5.5. Operadors ortogonals. Grup ortogonal

5.6. Projectors ortogonals

5.7. Operadors lineals en espais de dimensió infinita

6. Teoria espectral

6.1. Valors i vectors propis d’un endomorfisme

6.2. Operadors diagonalitzables

6.3. Valors i vectors propis d’operadors normals

6.4. Teoria espectral d’operadors normals

7. Tensors. Teoria algebraica

7.1. Aplicacions multilineals. Tensors covariants i contravariants

7.2. Bases de l’espai TqpE. Components d’un tensor

7.3. Fórmula de canvi de base

7.4. Contracció tensorial

8. Espai afí i espai afí euclidià

8.1. Espai afí

8.2. Aplicacions afins

8.3. Espais afins euclidians

8.4. Coordenades no afins o curvilínies

8.5. Espaitemps de Galileu

9. Geometria analítica en l’espai

9.1. Producte vectorial i producte mixt

9.2. Rectes i plans en E3

9.3. Posicions relatives de rectes i plans en E3

9.4. Problemes mètrics en E3

9.5. Geometria a l’espai afí euclidià bidimensional E2

9.6. Còniques

10. Espais lorentzians

10.1. Espai vectorial mètric

10.2. Mètrica contravariant. Tensors mètricament equivalents

10.3. Bases ortonormals en espais vectorials mètrics

10.4. Espai vectorial de Minkowski

10.5. El grup de Lorentz

10.6. Espaitemps de Minkowski

Apèndixs

A. Conceptes bàsics de la teoria de conjunts

A.1. Conjunts: definicions elementals

A.2. Producte cartesià i correspondències

A.3. Aplicacions

A.4. Conjunts numèrics

A.5. Cardinalitat

B. Nombres complexos

B.1. Necessitat dels nombres complexos i definició

B.2. Operacions amb nombres complexos

B.3. Representació polar i manipulacions algebraiques

B.4. Potències, arrels i logaritmes de nombres complexos

B.5. Funcions trigonomètriques i funcions hiperbòliques

C. Grup de permutacions

C.1. Definició de permutació i estructura de grup

C.2. Cicles i transposicions

C.3. Signatura d’una permutació i símbol de Levi-Civita

D. Matrius i determinants

D.1. Matriu m × n

D.2. Multiplicació de matrius

D.3. Transposada i adjunta d’una matriu

D.4. Tipus especials de matrius quadrades

D.5. Determinant d’una matriu

D.6. Inversa d’una matriu

D.7. Rang d’una matriu

D.8. Resolució de sistemes d’equacions lineals

Índex analític