Aproximació numèrica

Davant un problema numèric concret, com pot ser el càlcul de les arrels d'una funció, l'analista numèric busca solucions. És fonamental estar segur que el problema a resoldre té solució, es a dir, és imprescindible saber que allò que es busca existeix, però també, i aquesta és la diferència més important amb l'anàlisi tradicional, s'ha de calcular. La recerca dels millors algoritmes de càlcul, els més eficients i els més elegants, és una de les branques més interessants de l'anàlisi numèrica. Els autors d'aquest manual pertanyen al Departament de Matemàtica Aplicada de la Universitat de València, on desenvolupen la seua tasca docent i investigadora en diverses branques de l'anàlisi numèrica.

Índex
Introducció
Capítol 1. Sistemes numèrics i fonts d’errors
1.1 Introducció.
1.2 Representacions numèriques.
1.3 Aritmètica del punt flotant.
1.4 Conseqüències de l’aritmètica de precisió finita
1.5 Inestabilitat numèrica
1.6 Problemes
Capítol 2. Equacions no lineals
2.1 Introducció
2.2 Classificació dels mètodes d’aproximació de solucions
2.3 Mètodes iteratius d’aproximació per intervals
2.4 Altres mètodes d’aproximació d’arrels
2.5 Problemes
Capítol 3. Velocitat de convergència
3.1 Definicions prèvies
3.2 Velocitat de convergència pels mètodes de punt fix
3.3 Velocitat de convergència dels mètodes que depenen de més d’un punt
3.4 Acceleració de la convergència
3.5 Condicionament de les arrels
3.6 Propietats dels mètodes
3.7 Problemes
Capítol 4. Equacions polinòmiques
4.1 Introducció
4.2 Avaluació de polinomis
4.3 Fitació d’arrels reals
4.4 Localització d’arrels reals
4.5 Consideracions sobre els mètodes generals per al càlcul d’arrels reals de polinomis
4.6 Mètodes específics per a polinomis
4.7 Deflació d’arrels
4.8 Problemes
Capítol 5. Sistemes d’equacions no lineals
5.1 Iteració de punt fi x per a sistemes
5.2 Mètode de Steffensen per a sistemes
5.3 Mètode de Newton per a sistemes
5.4 Mètode Gauss-Seidel-Newton per a sistemes
5.5 Mètode de la secant per a sistemes
5.6 Comparació dels mètodes
5.7 Problemes
Capítol 6. Aproximació de funcions
6.1 Introducció
6.2 El problema d’aproximació de Taylor
6.3 Problemes
Capítol 7. El teorema de Weierstrass
7.1 El teorema de Weierstrass
Capítol 8. La interpolació de Lagrange
8.1 Introducció
8.2 El problema d’interpolació de Lagrange
8.3 La base de Lagrange de n
8.4 La forma de Newton del polinomi interpolador
8.5 Les diferències dividides
8.6 L’error en la interpolació de Lagrange
8.7 Problemes
Capítol 9. L’elecció dels nodes d’interpolació
9.1 Els polinomis de Txebixev
9.2 Problemes
Capítol 10. El problema d’interpolació d’Hermite
10.1 Interpolació osculatòria
10.2 L’error a la interpolació d’Hermite
10.3 La forma de Newton a la interpolació d’Hermite
10.4 Problemes
Capítol 11. Interpolació polinòmica segmentària
11.1 Convergència de successions de polinomis interpoladors
11.2 Interpolació de Lagrange segmentària
11.3 El control de l’error en la interpolació segmentària
11.4 Interpolació d’Hermite segmentària
11.5 Interpolació per splins
11.6 Problemes
Capítol 12. Introducció a l’aproximació no lineal
12.1 Interpolació adaptativa: la interpolació ENO
12.2 Aproximació per funcions racionals
12.3 Problemes
Capítol 13. Aproximació en espais normats
13.1 El concepte d’aproximació òptima
13.2 Espais normats amb producte interior
13.3 El sistema trigonomètric
13.4 Problemes
Capítol 14. Aproximació contínua de mínims quadrats
14.1 Els espais L2 [a, b]
14.2 Successions de polinomis ortogonals
14.3 L’avaluació de combinacions lineals de polinomis ortogonals.
14.4 Problemes
Capítol 15. Mínims quadrats discrets: el problema de l’ajust de dades
15.1 El problema lineal dels mínims quadrats
15.2 Problemes de mínims quadrats ponderats discrets
15.3 Problemes
Capítol 16. Interpolació trigonomètrica
16.1 Aproximació discreta per polinomis trigonomètrics
16.2 Relació amb les sèries de Fourier. Aliasing
16.3 La transformació ràpida de Fourier
16.4 Problemes
Índex de termes
Bibliografia