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Indice
1. Espacios normados
1.1. Norma en un espacio vectorial. Ejemplos
1.2. Aplicaciones lineales y continuas
1.3. Espacios normados de dimensión finita
1.3.1. Normas equivalentes
1.3.2. Compacidad de las bolas cerradas
1.4. Espacios de Lebesgue Lp(Ω)
1.5. La norma de un operador acotado
1.6. Ejercicios
2. Espacios de Hilbert
2.1. Producto escalar y norma asociada
2.2. Distancia mínima a un convexo cerrado
2.3. Proyección ortogonal
2.4. Teorema de Riesz-Fréchet
2.5. Adjunto de un operador
2.6. Los teoremas de Lax-Milgram y de Stampacchia
2.7. Sistemas ortonormales
2.8. Ejercicios
3. El sistema trigonométrico en L2(−π,π)
3.1. El sistema trigonométrico es base ortonormal
3.2. Integración de la serie de Fourier
3.3. Ejercicios
4. Teoría espectral en espacios de Hilbert
4.1. Operadores invertibles
4.2. Operadores compactos
4.3. El espectro de un operador compacto y autoadjunto
4.4. Ejercicios
5. Series de Fourier en L1(T)
5.1. Coeficientes de Fourier en forma compleja
5.2. El núcleo de Dirichlet
5.3. El núcleo de Fejér
5.4. Convergencia puntual de la serie de Fourier
5.5. Funciones con periodo distinto de 2π
5.6. Ejercicios
6. Convolución de funciones
6.1. Ejercicios
7. Transformada de Fourier
7.1. La transformada de Fourier en L1(Rd)
7.2. El espacio de Schwartz
7.3. La transformada de Fourier en L2(Rd)
7.4. Distribuciones temperadas
7.5. El teorema del muestreo de Shannon
7.5.1. Submuestreo
7.5.2. El teorema del muestreo y el CD
7.6. Ejercicios
8. Aplicaciones del análisis de Fourier
8.1. Un problema ergódico
8.2. El problema isoperimétrico
8.3. Desigualdad de Heisenberg
8.4. Sistemas invariantes en el tiempo
8.5. Fórmula de sumación de Poisson
8.6. Transformada de Fourier discreta
8.6.1. La transformada rápida de Fourier
9. Algunas soluciones
9.1. Capítulo 1
9.2. Capítulo 2
9.3. Capítulo 3
9.4. Capítulo 4
9.5. Capítulo 5
9.6. Capítulo 6
9.7. Capítulo 7
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