Sinopsi
Detalles
Índex
Índex
PREÀMBUL
Capítol 1. Nombres complexos
1.1 Motivació històrica
1.2 El cos dels nombres complexos
1.3 Representació dels nombres complexos
1.4 Fórmula d’Euler
1.5 Potències i arrels de nombres complexos
1.6 Problemes proposats
Capítol 2. Topologia dels nombres complexos
2.1 Introducció
2.2 Elements i conjunts
2.3 Camins en C
2.4 El punt de l’infinit
2.5 Problemes proposats
Capítol 3. Funcions de variable complexa
3.1 Límits i continuïtat
3.1.1 Regles per a fer límits
3.2 Diferenciabilitat
3.2.1 Regles de derivació
3.2.2 Condicions de Cauchy-Riemann
3.3 Funcions multivaluades
3.4 Problemes proposats
Capítol 4. Funcions elementals
4.1 La funció exponencial
4.2 Funcions trigonomètriques i hiperbòliques
4.3 Funció logarítmica
4.3.1 Superfície de Riemann per al logaritme
4.3.2 Relació amb les funcions hiperbòliques i trigonomètriques inverses
4.4 Funció potència general
4.5 Problemes proposats
Capítol 5. Teorema de Cauchy
5.1 Integrals en el camp complex
5.2 Primitives
5.3 Teorema de Cauchy
5.3.1 Teorema de Cauchy a partir del Teorema de Green
5.3.2 Teorema de Cauchy per a un disc
5.3.3 Teorema general de Cauchy
5.4 Teorema de Cauchy i funcions multivaluades
5.4.1 Primitives multiformes
5.5 Problemes proposats
Capítol 6. Fórmula integral de Cauchy
6.1 Índex d’un camí tancat
6.1.1 Propietats de l’índex
6.2 Fórmula integral de Cauchy
6.3 Derivades successives d’una funció regular
6.4 Problemes proposats
Capítol 7. Sèries en C
7.1 Successions i sèries numèriques
7.2 Sèries de funcions
7.2.1 Teorema de Weierstrass
7.3 Sèries de potències
7.3.1 Càlcul del radi de convergència
7.4 Problemes proposats
Capítol 8. Desenvolupaments en sèrie
8.1 Sèrie de Taylor
8.2 Zeros d’una funció analítica
8.3 Sèrie de Laurent
8.3.1 Càlcul de desenvolupaments de Laurent
8.4 Singularitats d’una funció analítica
8.4.1 Classificació de singularitats aïllades
8.4.2 Funcions meromorfes
8.4.3 Singularitats essencials
8.5 Problemes proposats
Capítol 9. El teorema dels residus
9.1 El teorema dels residus
9.2 Càlcul de residus
9.3 Residu a l’infinit
9.4 Comptatge de zeros i pols. Teorema de Rouché
9.4.1 Principi de variació de l’argument
9.4.2 Teorema de Rouché
9.5 Problemes proposats
Capítol 10. Aplicació del teorema dels residus I
10.1 Integrals impròpies reals
10.1.1 Part principal de Cauchy
10.2 Lemes d’integració
10.3 Integrals de funcions univaluades
10.3.1 Integrals de funcions racionals
10.3.2 Integrals de funcions racionals per exponencials.
10.3.3 Integrals de funcions racionals de funcions trigonomètriques
10.4 Integrals amb pols en el camí
10.5 Problemes proposats
Capítol 11. Aplicació del teorema dels residus II
11.1 Integrals de funcions multiformes
11.2 Integració en intervals finits
11.3 Càlcul de sumes infinites
11.4 Problemes proposats
Capítol 12. Teoremes generals
12.1 Teorema de Liouville
12.2 Principi del mòdul màxim
12.3 Prolongació analítica
12.4 Principi de reflexió de Schwarz
12.5 Problemes proposats
Capítol 13. Transformació conforme i problemes de contorn
13.1 Introducció
13.2 Interpretació geomètrica de la derivada
13.3 Transformació bilineal
13.3.1 Composició de transformacions bilineals
13.3.2 Transformacions elementals
13.4 Exemples de transformacions conformes
13.5 Transformació de Schwarz-Christoffel
13.6 Transformació de Riemann
13.7 Funcions harmòniques
13.8 El problema de Dirichlet
13.8.1 Aplicacions
13.9 Problemes proposats
Capítol 14. La funció gamma
14.1 Introducció: representacions integrals
14.2 La funció factorial real
14.2.1 Extensió del factorial als complexos: funció gamma
14.3 Integrals relacionades amb la funció gamma
14.3.1 Integrals d’Euler
14.3.2 La funció beta: B(p, q)
14.4 Expressions de la funció gamma
14.4.1 Fórmula dels complements
14.4.2 Fórmula de duplicació.
14.4.3 Fórmula integral
14.4.4 Altres expressions
14.5 Problemes proposats
Capítol 15. La transformada de Laplace
15.1 Definicions
15.2 Regles operatives
15.3 Funció de Heaviside
15.4 Funció δ de Dirac
15.5 Transformada inversa de Laplace
15.5.1 Regles operatives
15.5.2 Aplicació a funcions racionals
15.6 Fórmula d’inversió de Bronwich
15.7 Problemes proposats
Capítol 16. Sèries i transformades de Fourier
16.1 Sèries de Fourier
16.1.1 Sèries trigonomètriques
16.1.2 Funcions parelles i imparelles (sèries de Fourier sinus i cosinus)
16.1.3 Forma complexa de la sèrie de Fourier
16.2 Transformades de Fourier
16.3 Propietats de la transformada de Fourier
16.4 Transformades de Fourier multidimensionals
16.5 Problemes proposats
Capítol 17. Desenvolupaments asimptòtics
17.1 Introducció
17.2 Relacions de comparació
17.2.1 Integració i derivació de les relacions de comparació
17.3 Desenvolupaments asimptòtics
17.3.1 Propietats dels desenvolupaments asimptòtics
17.4 Desenvolupaments asimptòtics de Laplace
17.5 Mètode del punt d’enselladura
17.6 Desenvolupaments asimptòtics de Fourier
17.7 Problemes proposats
BIBLIOGRAFIA
ÍNDEX ANALÍTIC
